2 закон ньютона формулировка примеры. Второй закон ньютона

20.04.2019

Производя опыты с действием сил на тела, мы установили пропорциональность между модулем силы , действующей на тело, и модулем ускорения , которое эта сила сообщает телу, а также ввели новую величину - массу тела .

Опыты показали также, что направление ускорения совпадает с направлением силы, вызвавшей ускорение (§ 42), т. е. что векторы и совпадают по направлению. Следовательно, формулу (43.1) можно написать в векторном виде:

Напомним, что здесь - равнодействующая всех сил, действующих на тело, - его масса и - ускорение, получаемое телом под действием силы . Эта формула выражает основной закон движения, известный под названием второго закона Ньютона (первый закон - закон инерции, § 31). Второй закон Ньютона можно сформулировать так: сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на создаваемое этой силой ускорение, причем направления силы и ускорения совпадают.

Формулу (44.1) можно записать еще и в таком виде:

и закон Ньютона можно выразить в несколько иной форме: ускорение, сообщаемое телу, прямо пропорционально действующей на тело силе, обратно пропорционально массе тела и направлено так же, как сила. В частности, отсюда следует, что при действии равными силами на, разные тела они получают ускорения, обратно пропорциональные своим массам; и обратно, если разные тела получают ускорения, обратно пропорциональные своим массам, то это значит, что силы, действующие на эти тела, равны по модулю.

Если сила постоянного направления стала действовать на тело, находящееся в покое, или если сила, действующая на движущееся тело, направлена вдоль скорости тела (например, тело, падающее без начальной скорости; тело, подброшенное вертикально вверх), то тело будет двигаться прямолинейно. Для этого случая закон Ньютона можно написать в скалярной форме:

При этом под действием постоянной силы тело неизменной массы будет двигаться с постоянным ускорением, т. е. равноускоренно. Если же сила меняется с течением времени, то меняется и ускорение. В этом случае формула (44.2) дает значение мгновенного ускорения (§ 27), вызываемого силой, действующей в данный момент. Если сила остается постоянной, а меняется масса тела, к которому приложена сила, то ускорение также оказывается переменным. Примером тела переменной массы может служить ракета, выбрасывающая во время полета продукты сгорания топлива, в результате чего ее масса уменьшается. Если при этом сила, действующая на ракету, не меняется, то ускорение ее растет (§ 188). Если сила направлена под углом к скорости тела, то оно движется криволинейно (например, тело, брошенное горизонтально). Криволинейное движение будем изучать в гл. V.

Во втором законе Ньютона заключен, как частный случай, первый закон, или закон инерции. Действительно, из формулы (44.2) видно, что если , то и , т. е. если на тело не действуют силы (или силы действуют, но их равнодействующая равна нулю), то и ускорение равно нулю, и значит, тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Примеры проявления второго закона Ньютона встречаются на каждом шагу. Электровоз разгоняет поезд с тем меньшим ускорением, чем больше масса поезда. Отталкивая с одинаковой силой от берега пустую и тяжело нагруженную лодку, заставим первую из них двигаться с большим ускорением, чем вторую. Если тело лежит на твердой опоре, то, прилагая к нему малую силу, мы не сдвинем его с места, так как при этом возникнет сила трения об опору (§ 64), которая уравновесит приложенную силу: результирующая окажется равной нулю. Но если тело плавает на воде, то возникающая сила трения о воду в начале движения очень мала, поэтому она не уравновесит приложенную силу и равнодействующая не будет равна нулю: тело начнет двигаться.

Рис. 67. При одинаковой силе, действующей на плавающий брусок, скорость увеличивается: а) медленно у большого бруска, б) быстрее у малого бруска

Как бы ни была мала результирующая сила, действующая на тело, ускорение возникнет; но оно мажет быть настолько мало, что потребуется много времени, чтобы вызвать заметное изменение скорости. Так, надавливая на массивный деревянный брусок, плавающий в воде, гибким стеклянным прутом (рис. 67), увидим, что брусок приобретет заметную скорость только через 1-2 минуты. В то же время бруску гораздо меньшей массы можно сообщить при помощи того же прута гораздо большее ускорение. На пристанях можно наблюдать, как рабочий изо всей силы упираясь багром в борт большой баржи, тратит несколько минут на сообщение ей еле заметной скорости.

В формуле второго закона Ньютона - это ускорение тела в его движении относительно Земли. Но, как мы знаем (§ 33), ускорение тела будет таким же, если рассматривать движение тела относительно любой другой инерциальной системы. Силы же, действующие на тело, представляют собой действия на данное тело других тел и не зависят от того, по отношению к какой системе отсчета мы определяем ускорение данного тела. Не зависит от выбора системы отсчета и масса тела. Поэтому закон Ньютона остается справедливым и при рассмотрении движения относительно любой другой инерциальной системы, например, относительно корабля, равномерно движущегося прямым курсом по спокойному морю, или относительно поезда, идущего с постоянной скоростью по прямому участку, и т. п. Более подробно об этом вопросе будет сказано в гл. VI.

44.1. Используя второй закон Ньютона, объясните, почему падение на мерзлую землю опаснее, чем на рыхлый снег, и почему, прыгнув с высоты нескольких этажей на натянутый брезент, можно остаться невредимым?

Закон Ньютона был открыт при изучении движений, происходящих в обычных условиях на Земле, и при изучении движений небесных тел. И в тех и в других случаях скорости тел малы по сравнению со скоростью света (300 000 км/с). Со скоростями, приближающимися к скорости света, физики встретились только при изучении движения элементарных частиц, например электронов и протонов в ускорителях - устройствах, в которых на элементарные частицы действуют разгоняющие их электромагнитные силы. Для таких скоростей второй закон Ньютона неверен. Согласно закону Ньютона, при действии постоянной силы, направленной вдоль траектории частицы, частица должна была бы иметь постоянное ускорение, т. е. ее скорость должна была бы равномерно расти. Однако оказалось, что хотя в начале разгона второй закон Ньютона выполняется и частица движется равноускоренно, но, по мере того как достигнутая частицей скорость приближается к скорости света, ускорение делается все меньше и меньше, т. е. закон Ньютона нарушается.

При продолжающемся действии ускорителя скорость частицы растет все медленнее, приближаясь к скорости света, но никогда ее не достигая. Например, при скорости тела, равной 0,995 скорости света, ускорение, получаемое телом при силе, действующей в направлении движения тела, составит всего 0,001 ускорения, рассчитанного по формуле закона Ньютона. Даже при скорости, равной всего одной десятой скорости света, уменьшение ускорения сравнительно с рассчитанным по закону Ньютона составит 1,5%. Но для «малых» скоростей, встречающихся в обыденной жизни, и даже для скоростей космических тел поправка так мала, что ею можно пренебрегать. Например, для Земли, вращающейся вокруг Солнца со скоростью 30 км/с, уменьшение ускорения составит всего миллионную долю процента.

Итак, второй закон Ньютона можно применять только по отношению к телам, скорость которых мала по сравнению со скоростью света.

Относительно которых материальные точки , когда на них не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находятся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Историческая формулировка

Современная формулировка

где p → = m v → {\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}} - импульс точки, v → {\displaystyle {\vec {v}}} - её скорость , а t {\displaystyle t} - время . При такой формулировке, как и при предшествующей, полагают, что масса материальной точки неизменна во времени .

Иногда предпринимаются попытки распространить сферу применения уравнения d p → d t = F → {\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}} и на случай тел переменной массы. Однако, вместе с таким расширительным толкованием уравнения приходится существенным образом модифицировать принятые ранее определения и изменять смысл таких фундаментальных понятий, как материальная точка, импульс и сила .

Замечания

Когда на материальную точку действуют несколько сил, с учётом принципа суперпозиции , второй закон Ньютона записывается в виде:

m a → = ∑ i = 1 n F i → {\displaystyle m{\vec {a}}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {F_{i}}}} d p → d t = ∑ i = 1 n F i → . {\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {F_{i}}}.}

Второй закон Ньютона, как и вся классическая механика, справедлив только для движения тел со скоростями, много меньшими скорости света . При движении тел со скоростями, близкими к скорости света, используется релятивистское обобщение второго закона , получаемое в рамках специальной теории относительности .

Следует учитывать, что нельзя рассматривать частный случай (при F → = 0 {\displaystyle {\vec {F}}=0} ) второго закона как эквивалент первого, так как первый закон постулирует существование ИСО, а второй формулируется уже в ИСО.

Историческая формулировка

Исходная формулировка Ньютона:

Третий закон Ньютона

Этот закон описывает, как взаимодействуют две материальные точки. Возьмём для примера замкнутую систему, состоящую из двух материальных точек. Первая точка может действовать на вторую с некоторой силой , а вторая - на первую с силой . Как соотносятся силы? Третий закон Ньютона утверждает: сила действия F → 1 → 2 {\displaystyle {\vec {F}}_{1\to 2}} равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия F → 2 → 1 {\displaystyle {\vec {F}}_{2\to 1}} .

Третий закон Ньютона является следствием однородности , изотропности и зеркальной симметрии пространства .

Современная формулировка

Закон утверждает, что силы возникают лишь попарно, причём любая сила, действующая на тело, имеет источник происхождения в виде другого тела. Иначе говоря, сила всегда есть результат взаимодействия тел. Существование сил, возникших самостоятельно, без взаимодействующих тел, невозможно .

Историческая формулировка

Ньютон дал следующую формулировку закона :

Следствия законов Ньютона

Законы Ньютона являются аксиомами классической ньютоновской механики. Из них, как следствия, выводятся уравнения движения механических систем, а также «законы сохранения», указанные ниже. Разумеется, есть и законы (например, всемирного тяготения или Гука), не вытекающие из трёх постулатов Ньютона.

Уравнения движения

Уравнение F → = m a → {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}} является дифференциальным уравнением : ускорение есть вторая производная от координаты по времени . Это значит, что эволюцию (перемещение) механической системы во времени можно однозначно определить, если задать её начальные координаты и начальные скорости.

Заметим, что если бы уравнения, описывающие наш мир, были бы уравнениями первого порядка, то из нашего мира исчезли бы такие явления, как инерция , колебания , волны .

Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная , если векторная сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю .

Закон сохранения механической энергии

Законы Ньютона и силы инерции

Использование законов Ньютона предполагает задание некой ИСО. Однако, на практике приходится иметь дело и с неинерциальными системами отсчёта . В этих случаях, помимо сил, о которых идёт речь во втором и третьем законах Ньютона, в механике вводятся в рассмотрение так называемые силы инерции .

Обычно речь идёт о силах инерции двух различных типов . Сила первого типа (даламберова сила инерции ) представляет собой векторную величину, равную произведению массы материальной точки на её ускорение, взятое со знаком минус. Силы второго типа (эйлеровы силы инерции ) используются для получения формальной возможности записи уравнений движения тел в неинерциальных системах отсчёта в виде, совпадающем с видом второго закона Ньютона. По определению, эйлерова сила инерции равна произведению массы материальной точки на разность между значениями её ускорения в той неинерциальной системе отсчёта, для которой эта сила вводится, с одной стороны, и в какой-либо инерциальной системе отсчёта , с другой . Определяемые таким образом силы инерции силами в истинном смысле слова не являются , их называют фиктивными , кажущимися или псевдосилами .

Законы Ньютона в логике курса механики

Существуют методологически различные способы формулирования классической механики, то есть выбора её фундаментальных постулатов , на основе которых затем выводятся законы-следствия и уравнения движения. Придание законам Ньютона статуса аксиом, опирающихся на эмпирический материал, - только один из таких способов («ньютонова механика»). Этот подход принят в средней школе, а также в большинстве вузовских курсов общей физики.

Альтернативным подходом, использующимся преимущественно в курсах теоретической физики, выступает лагранжева механика . В рамках лагранжева формализма имеются одна-единственная формула (запись действия) и один-единственный постулат (тела движутся так, чтобы действие было стационарным) , являющийся теоретической концепцией. Из этого можно вывести все законы Ньютона, правда, только для лагранжевых систем (в частности, для консервативных систем). Следует, однако, отметить, что все известные фундаментальные взаимодействия описываются именно лагранжевыми системами. Более того, в рамках лагранжева формализма можно легко рассмотреть гипотетические ситуации, в которых действие имеет какой-либо другой вид. При этом уравнения движения станут уже непохожими на законы Ньютона, но сама классическая механика будет по-прежнему применима.

Исторический очерк

Практика применения машин в мануфактурной промышленности, строительство зданий, кораблестроение, использование артиллерии позволили ко времени Ньютона накопиться большому числу наблюдений над механическими процессами. Понятия инерции, силы, ускорения всё более прояснялись в течение XVII столетия. Работы Галилея , Борелли , Декарта , Гюйгенса по механике уже содержали все необходимые теоретические предпосылки для создания Ньютоном в механике логичной и последовательной системы определений и теорем .

Оригинальный текст (лат.)
LEX I
Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quantenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.
LEX II
Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.
Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi.

Русский перевод этих формулировок законов см. в предыдущих разделах.

Ньютон также дал строгие определения таких физических понятий, как количество движения (не вполне ясно использованное у Декарта ) и сила . Он ввёл в физику понятие массы как меры инертности тела и, одновременно, его гравитационных свойств (ранее физики пользовались понятием вес ).

В середине XVII века ещё не существовало современной техники дифференциального и интегрального исчисления . Соответствующий математический аппарат в 1680-е годы параллельно создавался самим Ньютоном (1642-1727), а также Лейбницем (1646-1716). Завершили математизацию основ механики Эйлер (1707-1783) и Лагранж (1736-1813).

Примечания

Исаак Ньютон. Математические начала натуральной философии. Перевод с латинского и примечания А. Н. Крылова / под ред. Полака Л. С.. - М. : Наука, 1989. - С. 40-41. - 690 с. - (Классики науки). - 5 000 экз. - ISBN 5-02-000747-1 .
Тарг С. М. Ньютона законы механики // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров . - М. : Большая российская энциклопедия, 1992. - Т. 3: Магнитоплазменный - Пойнтинга теорема. - С. 370. - 672 с. - 48 000 экз. - ISBN 5-85270-019-3 .
Инерция // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров . - М. : Советская энциклопедия , 1990. - Т. 2. - С. 146. - 704 с. - ISBN 5-85270-061-4 .
Инерциальная система отсчёта // Физическая энциклопедия (в 5 томах) / Под редакцией акад. А. М. Прохорова . - М. : Советская Энциклопедия , 1988. - Т. 2. - С. 145. - ISBN 5-85270-034-7 .
«Дополнительной характеристикой (по сравнению с геометрическими характеристиками) материальной точки является скалярная величина m - масса материальной точки, которая, вообще говоря, может быть как постоянной, так и переменной величиной. … В классической ньютоновской механике материальная точка обычно моделируется геометрической точкой с присущей ей постоянной массой) являющейся мерой её инерции.» стр. 137 Седов Л. И. , Цыпкин А. Г. Основы макроскопических теорий гравитации и электромагнетизма. М: Наука, 1989.
Маркеев А. П. Теоретическая механика. - М. : ЧеРО, 1999. - С. 87. - 572 с. «Масса материальной точки считается постоянной величиной, не зависящей от обстоятельств движения».
Голубев Ю. Ф. Основы теоретической механики. - М. : МГУ, 2000. - С. 160. - 720 с. - ISBN 5-211-04244-1 . «Аксиома 3.3.1. Масса материальной точки сохраняет своё значение не только во времени, но и при любых взаимодействиях материальной точки с другими материальными точками независимо от их числа и от природы взаимодействий».
Журавлёв В. Ф. Основы теоретической механики. - М. : Физматлит, 2001. - С. 9. - 319 с. - ISBN 5-95052-041-3 . «Масса [материальной точки] полагается постоянной, независящей ни от положения точки в пространстве, ни от времени».
Маркеев А. П. Теоретическая механика. - М. : ЧеРО, 1999. - С. 254. - 572 с. «…второй закон Ньютона справедлив только для точки постоянного состава. Динамика систем переменного состава требует особого рассмотрения».
«В ньютоновской механике… m=const и dp/dt=ma». Иродов И. Е. Основные законы механики. - М. : Высшая школа, 1985. - С. 41. - 248 с. .
Kleppner D., Kolenkow R. J. An Introduction to Mechanics . - McGraw-Hill, 1973. - P. 112. - ISBN 0-07-035048-5 . «For a particle in Newtonian mechanics, M is a constant and (d/dt)(Mv ) = M(dv /dt) = Ma ».

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

Первый закон Ньютона постулирует существование инерциальных систем отсчета. Поэтому он также известен как Закон инерции . Инерция - это свойство тела сохранять скорость своего движения неизменной (и по величине, и по направлению), когда на тело не действуют никакие силы. Чтобы изменить скорость движения тела, на него необходимо подействовать с некоторой силой. Естественно, результат действия одинаковых по величине сил на различные тела будет различным. Таким образом, говорят, что тела обладают разной инертностью. Инертность - это свойство тел сопротивляться изменению их скорости. Величина инертности характеризуется массой тела.

Современная формулировка

В современной физике первый закон Ньютона принято формулировать в следующем виде :

Замечания

m a → = ∑ i = 1 n F i → {\displaystyle m{\vec {a}}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {F_{i}}}} d p → d t = ∑ i = 1 n F i → . {\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {F_{i}}}.}

Историческая формулировка

Исходная формулировка Ньютона:

Интересно, что если добавить требование инерциальности для системы отсчёта, то в такой формулировке этот закон справедлив даже в релятивистской механике .

Третий закон Ньютона

Современная формулировка

Историческая формулировка

Ньютон дал следующую формулировку закона :

Следствия

Закон сохранения импульса

Закон сохранения механической энергии

Комментарии к законам Ньютона

Законы Ньютона являются основными законами механики. Из них могут быть выведены уравнения движения механических систем. Однако не все законы механики можно вывести из законов Ньютона. Например, закон всемирного тяготения или закон Гука не являются следствиями трёх законов Ньютона.

Силы инерции

Помимо сил, о которых идёт речь во втором и третьем законах Ньютона, в механике вводят в рассмотрение так называемые силы инерции . Обычно речь идёт о силах инерции двух различных типов . Сила первого типа (Д’Аламберова сила инерции ) представляет собой векторную величину, равную произведению массы материальной точки на её ускорение, взятое со знаком минус. Силы второго типа (Эйлеровы силы инерции ) используются для получения формальной возможности записи уравнений движения тел в неинерциальных системах отсчёта в виде, совпадающем с видом второго закона Ньютона. По определению эйлерова сила инерции равна произведению массы материальной точки на разность между значениями её ускорения в той неинерциальной системе отсчёта, для которой эта сила вводится, с одной стороны, и в какой-либо инерциальной системе отсчёта , с другой .Определяемые таким образом силы инерции силами в смысле законов Ньютона не являются . Данный факт служит основанием для утверждения о том, что они не являются физическими силами ; ту же мысль выражают, называя их фиктивными , кажущимися или псевдосилами .

Законы Ньютона и Лагранжева механика

Законы Ньютона - только один из способов формулирования классической механики. В рамках Лагранжевой механики имеется одна-единственная формула (запись действия) и один-единственный постулат (тела движутся так, чтобы действие было стационарным) , и из этого можно вывести все законы Ньютона, правда, только для лагранжевых систем (в частности для консервативных систем). Следует, однако, отметить, что все известные фундаментальные взаимодействия описываются именно лагранжевыми системами. Более того, в рамках Лагранжева формализма можно легко рассмотреть гипотетические ситуации, в которых действие имеет какой-либо другой вид. При этом уравнения движения станут уже непохожими на законы Ньютона, но сама классическая механика будет по-прежнему применима.

Решение уравнений движения

Исторический очерк

1. Всякое тело продолжает удерживаться в своём состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние.
2. Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.
3. Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе - взаимодействия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны.

Оригинальный текст (лат.)
LEX I
Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quantenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.
LEX II
Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.
Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi.

Ньютон также дал строгие определения таких физических понятий, как количество движения (не вполне ясно использованное у Декарта) и сила . Он ввёл в физику понятие массы как меры инерции и, одновременно, гравитационных свойств (ранее физики пользовались понятием вес ).

Завершили математизацию основ механики Эйлер и Лагранж .

Примечания

Исаак Ньютон. Математические начала натуральной философии. Перевод с латинского и примечания А. Н. Крылова / под ред. Полака Л. С.. - М. : Наука, 1989. - С. 40-41. - 690 с. - («Классики науки»). - 5 000 экз. - ISBN 5-02-000747-1 .
Тарг С. М. Ньютона законы механики // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров . - М. : Большая российская энциклопедия, 1992. - Т. 3: Магнитоплазменный - Пойнтинга теорема. - С. 370. - 672 с. - 48 000 экз. - ISBN 5-85270-019-3 .
Инерциальная система отсчёта // Физическая энциклопедия (в 5 томах) / Под редакцией акад.

Расположим динамометр вертикально и к его крючку будем подвешивать различные тела. Растяжение пружины показывает, что на все тела со стороны Земли действует сила притяжения. Эта сила называется силой тяжести.

Подвесим на крючок динамометра сначала одно тело, а потом другое, изготовленное из того же материала, но имеющее в два раза больший объём. Опыт показывает, что на второе тело действует в два раза большая сила тяжести. Затем измерим силу тяжести, действующую на тела одинакового объёма, но изготовленные из разных материалов. Опыт показывает, что на тела одинакового объёма, сделанные из алюминия и стали, действуют неодинаковые силы тяжести. Следовательно, сила тяжести, действующая на тело, зависит не только от его объёма.

Физическую величину, которая полностью определяет значение силы притяжения тела к Земле, называется массой тела .

Физическая величина, которой прямо пропорциональна сила притяжения к Земле, называется массой тела.

За единицу измерения массы принята масса международного эталона килограмма. Эта единица измерения называется килограмм (1 кг).

Тело имеет массу 1 кг, если на него действует такая же сила тяжести, какая действует в том же месте наблюдения на международный эталон килограмма.

Хорошо известно, что под действием одинаковых сил разные тела могут приобретать различные ускорения. От чего же ещё, кроме значения действующей силы, зависит ускорение тела? Опыт показывает, что единственной характеристикой тела, от которой зависит ускорение при действии одинаковых сил, является масса тела.

При действии одинаковых сил ускорение ɑ ̴ 1/m.

По определению, сила пропорциональна ускорению тела. Следовательно, ускорение движения тела прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе тела. Это утверждение называется вторым законом Ньютона или вторым законом механики:

Используя второй закон Ньютона, можно решать три вида практических задач. Если известны значения силы F и массы m тела, то можно определить ускорение движения тела. При известных значениях массы тела и ускорения можно найти силу, вызывающую ускорение:

F = m ɑ

По известным значениям силы и ускорения можно найти массу тела:

m = F/ ɑ

Мы знаем, что под действием сил тела не могут мгновенно изменять своё состояние покоя или движения. Это свойство тел называется инертностью.

Из второго закона Ньютона следует, что разные тела под действием одинаковых сил движутся с различными ускорениями. Скорость тела изменяется тем медленнее, чем больше масса тела. Следовательно, масса является мерой инертности тела.

Таким образом, масса тела одновременно является мерой двух свойств тел: способности взаимодействовать с другими телами силами тяготения и мерой инертности тел.

Второй закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчёта.

Остались вопросы? Не знаете второй закон Ньютона?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Приложенная к телу, а m {\displaystyle \ m} - масса тела. Или в ином виде:

Формулировка второго закона Ньютона с использованием понятия импульса :

В инерциальных системах отсчёта производная импульса материальной точки по времени равна действующей на неё силе :

d p → d t = F → , {\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}},} где p → = m v → {\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}} - импульс (количество движения) точки, - её скорость , а t {\displaystyle t} - время .

Область применения закона

Второй закон Ньютона в классической механике сформулирован применительно к движению материальной точки. Предполагается, что масса материальной точки неизменна во времени . Уравнения, соответствующие данному закону, называются уравнениями движения материальной точки или основными уравнениями динамики материальной точки .

Иногда в рамках классической механики предпринимались попытки распространить сферу применения уравнения d p → / d t = F → {\displaystyle d{\vec {p}}/dt={\vec {F}}} и на случай тел переменной массы. Однако вместе с таким расширительным толкованием уравнения приходилось существенным образом модифицировать принятые ранее определения и изменять смысл таких фундаментальных понятий, как материальная точка, импульс и сила .

В случае, когда на материальную точку действует несколько сил, каждая из них сообщает точке ускорение, определяемое вторым законом Ньютона так, как если бы других сил не было (принцип независимости действия сил). Поэтому результирующее ускорение материальной точки можно определить по второму закону Ньютона, подставив в него равнодействующую силу .

предполагает скалярную аддитивность масс .

Помимо материальной точки, уравнение второго закона Ньютона применимо также для описания механического движения центра масс механической системы. Центр масс движется, как материальная точка, имеющая массу, равную массе всей системы, и находящаяся под действием всех внешних сил, приложенных к точкам системы (теорема о движении центра масс системы).

Второй закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчёта . Тем не менее, добавляя к силам, действующим со стороны других тел, силы инерции , для описания движения в неинерциальных системах отсчёта можно пользоваться уравнением второго закона Ньютона . В таком случае для неинерциальной системы отсчёта уравнение движения записывается в той же форме, что и для инерциальной системы: масса тела, умноженная на его ускорение относительно неинерциальной системы отсчёта, равна по величине и направлению равнодействующей всех сил, включая и силы инерции, приложенные к телу .

Логическая роль второго закона Ньютона

В ньютоновском изложении классической механики законы Ньютона ниоткуда не «выводятся», они имеют статус аксиом , базирующихся на совокупности экспериментальных фактов. Как и аксиомы математики, аксиомы ньютоновской динамики можно сформулировать немного по-разному.

При одном подходе второй закон Ньютона позиционируется как экспериментально проверяемое утверждение о пропорциональности ускорения вызывающей его силе и, одновременно, определение инертной массы тела через отношение величин силы и ускорения . Тогда основная идея второго закона состоит в декларации линейности соотношения «сила-ускорение», то есть что именно эти величины (а не, скажем, сила и скорость) и именно таким образом (а не квадратично и т. п.) связаны между собой.

При другом подходе можно ввести инертную массу независимо от второго закона Ньютона, через массу определённого тела, принимаемого за эталон. Тогда второй закон содержит два независимо экспериментально проверяемых утверждения: о пропорциональности ускорения силе и обратной пропорциональности массе .

Уравнение второго закона Ньютона F → = m a → {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}} рассматривается как уравнение связи между физическими величинами при определении единиц силы в системах СИ , СГС и других . Единица силы определяется как такая сила, которая материальной точке с массой, равной единице массы, принимаемой в качестве основной, сообщает ускорение, равное единице ускорения, определённой ранее в качестве производной единицы . (При независимом выборе единиц массы, силы и ускорения выражение второго закона нужно писать в виде m a → = k F → {\displaystyle m{\vec {a}}=k{\vec {F}}} , где k {\displaystyle k} - коэффициент пропорциональности, определяющийся выбором единиц измерения ).

Во многих практических и учебных задачах второй закон Ньютона позволяет вычислять силу . Но данный закон не является дефиницией силы (высказывание типа «по определению, сила есть произведение массы на ускорение» неуместно), иначе он превратился бы в тавтологию.

В случае отсутствия воздействия на тело со стороны других тел ( F → = 0 {\displaystyle {\vec {F}}=0} ), из второго закона Ньютона следует, что ускорение тела равно нулю. Отсюда может показаться, что первый закон Ньютона входит во второй как его частный случай. Однако, это не так, поскольку именно первым законом постулируется существование инерциальных систем отсчёта, что является самостоятельным содержательным утверждением. Соответственно, первый закон Ньютона формулируется независимо от второго.

Формула второго закона Ньютона a → = F → / m {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {F}}/m} выражает принцип причинности классической механики. Координаты и скорости материальной точки в момент времени t + Δ t {\displaystyle t+\Delta t} (где Δ t → 0 {\displaystyle \Delta t\to 0} ) непрерывно и однозначно определяются через их значения в момент времени t {\displaystyle t} и заданную силу , действующую на материальную точку. Разлагая в ряд Тейлора и ограничиваясь малыми первого порядка по t {\displaystyle t} , получаем : r → (t + Δ t) = r → (t) + v → Δ t {\displaystyle {\vec {r}}(t+\Delta t)={\vec {r}}(t)+{\vec {v}}\Delta t} , v → (t + Δ t) = v → (t) + a → Δ t {\displaystyle {\vec {v}}(t+\Delta t)={\vec {v}}(t)+{\vec {a}}\Delta t} . Форма, в которой в механике реализуется причинность, называется механистическим или лапласовским детерминизмом .

Второй закон Ньютона устанавливает связь между динамическими и кинематическими величинами .

В случае, когда сила F → {\displaystyle {\vec {F}}} постоянна, интегрирование уравнения второго закона Ньютона d v → d t = F → m {\displaystyle {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {\vec {F}}{m}}} в этом случае приводит к равенству v 2 → − v 1 → = F → m (t 2 − t 1) {\displaystyle {\vec {v_{2}}}-{\vec {v_{1}}}={\frac {\vec {F}}{m}}(t_{2}-t_{1})} . Это соотношение показывает, что под действием заданной силы F → {\displaystyle {\vec {F}}} определённое изменение скорости Δ v → = v 2 → − v 1 → {\displaystyle \Delta {\vec {v}}={\vec {v_{2}}}-{\vec {v_{1}}}} у тела с большей массой происходит за более продолжительный промежуток времени. Поэтому говорят, что все тела обладают инерцией, а массу m {\displaystyle m} называют мерой инерции тела .

Запись закона в разных системах координат

Векторная запись второго закона Ньютона m a → = F → {\displaystyle m{\vec {a}}={\vec {F}}} верна для любой инерциальной системы координат, относительно которой определяются входящие в этот закон величины (сила, масса, ускорение) . Однако, разложение на компоненты (проекции) будет различным для декартовой, цилиндрической и сферической систем. Интерес также представляет разложение на нормальную и тангенциальную составляющие.

M x ¨ = F x {\displaystyle m{\ddot {x}}=F_{x}} , m y ¨ = F y {\displaystyle m{\ddot {y}}=F_{y}} , , где F → = F x i → + F y j → + F z k → {\displaystyle {\vec {F}}=F_{x}{\vec {i}}+F_{y}{\vec {j}}+F_{z}{\vec {k}}} , а орты декартовой системы i → {\displaystyle {\vec {i}}} , j → {\displaystyle {\vec {j}}} , k → {\displaystyle {\vec {k}}} направлены по осям координат (в сторону возрастания конкретной координаты),

M (ρ ¨ − ρ φ ˙ 2) = F ρ {\displaystyle m({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\varphi }}^{2})=F_{\rho }} , m (ρ φ ¨ − 2 ρ ˙ φ ˙) = F φ {\displaystyle m(\rho {\ddot {\varphi }}-2{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }})=F_{\varphi }} , m z ¨ = F z {\displaystyle m{\ddot {z}}=F_{z}} , где F → = F ρ e → ρ + F φ e → φ + F z e → z {\displaystyle {\vec {F}}=F_{\rho }{\vec {e}}_{\rho }+F_{\varphi }{\vec {e}}_{\varphi }+F_{z}{\vec {e}}_{z}} , а орты e → ρ {\displaystyle {\vec {e}}_{\rho }} , , e → z {\displaystyle {\vec {e}}_{z}} цилиндрической системы берутся в точке приложения силы и направлены, соответственно, от оси z {\displaystyle z} под 90 0 к ней, по окружности в плоскости x y {\displaystyle xy} с центром на оси, и вдоль z {\displaystyle z} (в сторону возрастания конкретной координаты),

M (r ¨ − r φ ˙ 2 sin 2 ⁡ θ − r θ ˙ 2) = F r {\displaystyle m({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta -r{\dot {\theta }}^{2})=F_{r}} , m ([ r φ ¨ + 2 r ˙ φ ˙ ] sin ⁡ θ + 2 r φ ˙ θ ˙ cos ⁡ θ) = F φ {\displaystyle m(\sin \theta +2r{\dot {\varphi }}{\dot {\theta }}\cos \theta)=F_{\varphi }} , m (2 r ˙ θ ˙ + r θ ¨ − r φ ˙ 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ) = F θ {\displaystyle m(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}-r{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta)=F_{\theta }} , где F → = F r e → r + F φ e → φ + F θ e → θ {\displaystyle {\vec {F}}=F_{r}{\vec {e}}_{r}+F_{\varphi }{\vec {e}}_{\varphi }+F_{\theta }{\vec {e}}_{\theta }} , а орты e → r {\displaystyle {\vec {e}}_{r}} , e → φ {\displaystyle {\vec {e}}_{\varphi }} , e → θ {\displaystyle {\vec {e}}_{\theta }} сферической системы берутся в точке приложения силы и направлены, соответственно, от центра O {\displaystyle O} , по «параллелям», и по «меридианам» (в сторону возрастания конкретной координаты).

Разложение в соприкасающейся плоскости

Тангенциальная составляющая силы равна F t = m a t = m d 2 s d t 2 {\displaystyle F_{t}=ma_{t}=m{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}} , где s = s (t) {\displaystyle s=s(t)} - дуговая координата по траектории точки . Если d 2 s d t 2 > 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}>0} , то сила совпадает по направлению с вектором скорости v → {\displaystyle {\vec {v}}} и её называют движущей силой . Если d 2 s d t 2 < 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}<0} , то сила F t → {\displaystyle {\vec {F_{t}}}} противоположна по направлению вектору скорости v → {\displaystyle {\vec {v}}} и её называют тормозящей силой .

Второй закон за пределами классической механики

В релятивистской динамике

Второй закон Ньютона в виде m a → = F → {\displaystyle m{\vec {a}}={\vec {F}}} приближённо справедлив только для скоростей , много меньших скорости света , и в инерциальных системах отсчёта .

В виде d p → d t = F → {\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}} второй закон Ньютона точно справедлив также в инерциальных системах отсчёта специальной теории относительности и в локально инерциальных системах отсчёта общей теории относительности , однако при этом вместо прежнего выражения для импульса используется равенство p → = m v → 1 − v 2 c 2 {\displaystyle {\vec {p}}={\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-{\frac {\displaystyle v^{2}}{\displaystyle c^{2}}}}}}} , где c {\displaystyle c} - скорость света .

Существует и четырёхмерное релятивистское обобщение второго закона Ньютона. Производная четырёхимпульса P → {\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}} по собственному времени τ {\displaystyle \tau } материальной точки равна четырёхсиле Φ → {\displaystyle {\vec {\Phi }}} :

Φ → = d P → d τ {\displaystyle {\vec {\Phi }}={\frac {d{\vec {\mathrm {P} }}}{d\tau }}} .

В релятивистской динамике вектор трёхмерного ускорения a → {\displaystyle {\vec {a}}} уже не параллелен вектору трёхмерной силы F → {\displaystyle {\vec {F}}} .

В квантовой механике

Законы ньютоновской динамики, в том числе второй закон Ньютона, неприменимы, если длина волны де Бройля рассматриваемого объекта соизмерима с характерными размерами области, в которой изучается его движение. В этом случае необходимо пользоваться квантовомеханическими законами .

Тем не менее, второй закон Ньютона при определённых условиях актуален применительно к движению волнового пакета в квантовой механике. Если потенциальная энергия волнового пакета пренебрежимо мало изменяется в области нахождения пакета, то производная по времени среднего значения импульса пакета будет равна силе, понимаемой как градиент потенциальной энергии , взятый с обратным знаком (теорема Эренфеста).

Видоизменённый второй закон Ньютона используется и при квантовомеханическом описании движения электронов в кристаллической решётке. Взаимодействие электрона с периодическим электромагнитным полем решётки при этом учитывается введением понятия эффективной массы .

Научно-историческое значение закона

Оценивая значение второго закона Ньютона, А. Эйнштейн писал:

Дифференциальный закон является той единственной формой причинного объяснения, которая может полностью удовлетворять современного физика. Ясное понимание дифференциального закона есть одно из величайших духовных достижений Ньютона… Только переход к рассмотрению явления за бесконечно малое время (т. е. к дифференциальному закону) позволил Ньютону дать формулировку, пригодную для описания любого движения… Так Ньютон пришёл… к установлению знаменитого закона движения:
Вектор ускорения × Масса = Вектор силы.
Это - фундамент всей механики и, пожалуй, всей теоретической физики.

Все законы природы для сил в зависимости от свойств тел, их состояний и движений получаются из опытов и устанавливаются всегда и только на основе решения уравнения F → = m a → {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}} , которое употребляется для выражения силы .

Лагранжево и гамильтоново обобщения закона

В аналитической механике существует два аксиоматических подхода. При одном подходе в качестве аксиомы принимается второй закон Ньютона и из него выводятся уравнения Лагранжа . При другом подходе в качестве аксиомы принимаются уравнения Лагранжа. Тогда второй закон Ньютона рассматривается как следствие из них .

Теорема об изменении обобщённого импульса обобщает и включает как частные случаи теоремы ньютоновской динамики об изменении количества движения и об изменении кинетического момента .

p ˙ i = − ∂ H ∂ q i {\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}} ,

где, как и выше, p i = ∂ L ∂ q ˙ i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}} - обобщённый импульс, через H = ∑ i = 1 s p i q ˙ i − L {\displaystyle H=\sum _{i=1}^{s}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L} обозначена функция Гамильтона , а L = L (q i , q ˙ i , t) {\displaystyle L=L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)} -